Если в BCM впаяно управляющее реле меньшей мощности и производит коммутацию первого , то выпаять и разобрав почистить контакты (заменить)
Если твердотельное аналогично, как и стоял бы просто мосфет осмотреть - (заменить)
Похоже управляющий 3F не держит нагрузку по (току) так как напряжение присутствует 12V.( но проседает под нагрузкой обмотки реле.
Возможно и непропай с окислами!
В край, можно воспользоваться - что имеем ( 12v с малым током) - добавить ключ на обычном транзисторе или ,обычный мосфет подобрать (типо усилить ток) колхоз конечно ,но тоже вариант ,особенно когда не хочется в блок лезть или невозможно.....